Мы определили несжимаемость жидкости, потре-бовав, чтобы общее количество жидкости, входящей в любую малую ячейку, было равно нулю. Существует другое строго эквивалентное определение. Представим себе объем жидкости в некоторый момент времени. Этот объем может иметь любую форму: сферическую, кубическую, каплеобразную — какую угодно. Теперь проследим за движением всех точек этого объема. Спустя некоторое время капля жидкости будет нахо¬
диться в другом месте и иметь другую форму. Но если жидкость несжимаема, объем капли останется таким же, каким он был первоначально. Так что можно пере-формулировать теорему Лиувилля: объем, занимаемый каплей фазовой жидкости, сохраняется во времени.
Рассмотрим пример гармонического осциллятора, в котором жидкость вращается вокруг начала отсчета. Очевидно, что капля сохраняет объем, поскольку все ее движение сводится к твердотельному вращению. Форма капли остается неизменной, но это имеет место именно для гармонического осциллятора. Рассмотрим другой пример. Допустим, гамильтониан имеет вид
Н =pq.
Возможно, это покажется вам непохожим на гамиль-тониан, хотя он совершенно корректный. Выведем уравнения движения:
Р = -р•
Согласно этим уравнениям, q экспоненциально возрас-тает со временем, а р с такой же скоростью экспонен-циально убывает. Другими словами, поток прижимает жидкость к оси р, одновременно и в той же степени расширяя ее вдоль оси q. Любая капля растягивается вдоль q и сжимается вдоль р. Очевидно, что капля ис-пытывает колоссальные деформации, но ее фазовый объем не меняется.
Теорема Лиувилля — это ближайший вообрази¬мый аналог того типа необратимости, который мы обсуждали в лекции 1. В квантовой механике теорема Лиувилля заменяется квантовой версией, которая на¬зывается унитарностью. Унитарность еще больше по¬хожа на то, что мы обсуждали в лекции 1, но это тема следующего выпуска «Теоретического минимума».
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
