Диаграммы эффективной потенциальной энергии
Для того чтобы прочувствовать задачу, часто бывает полезно построить график потенциальной энергии. Например, точки равновесия (где система способная находится в покое) можно найти как стационарные точки (минимумы и максимумы) потенциала. Для понимания движения под действием центральной силы мы делаем в точности то же самое, с той лишь поправкой, что используем эффективный потенциал. Нарисуем для начала два члена ^эфф по отдельности (рис. 3). Заметим, что эти два члена противоположны по знаку; центробежный член положителен, а гра¬витационный — отрицателен. Причина в том, что гравитация — притягивающая сила, а центробежная сила отталкивает частицу от начала отсчета.
Рис. 3. Графики потенциальной энергии для центробежного и гравитационного членов
Вблизи начала отсчета центробежный член наибо¬лее важен, но при больших значениях г доминировать начинает гравитационный член. Если их объединить, получается график К,фф, показанный на рис. 4.
г
Рис. 4. График эффективной потенциальной энергии Уэфф
Заметим, что при объединении двух членов у гра-фика появляется минимум. Это может показаться странным; мы не ожидали найти точку равновесия, в которой Земля может оставаться в покое. Однако надо помнить, что мы обсуждаем только движение по координате г, игнорируя угловую координату 0. Суть в том, что для каждого значения углового момента существует орбита, на которой в процессе движе¬ния сохраняется постоянная радиальная дистанция от Солнца. Такие орбиты являются круговыми. На графике Т^эфф круговая орбита представлена вооб¬ражаемой частицей, находящейся в покое в точке минимума.
Давайте вычислим значение г в этом минимуме. Все что для этого нужно, — продифференцировать и приравнять производную к нулю. Эти несложные выкладки я оставляю вам. А в результате получится, что минимум находится в точке
— Р* (14)
GMm2
Уравнение (14) дает радиус земной орбиты (в пред-положении, что она круговая, что не совсем верно), определяемый ее угловым моментом.
Законы Кеплера
Тихо Браге был датским астрономом XVI века, жив¬шим незадолго до появления телескопов. С помощью длинного шеста и некоторых угломерных инструментов он составил лучшие для дотелескопной эпохи табли¬цы, в которых зафиксировал движения тел Солнечной системы. Как теоретик он кое-что напутал, так что его наследием стали именно таблицы.
Иоганн Кеплер был помощником Тихо, и именно он успешно применил эти таблицы. Взяв записи Тихо, Кеплер выявил в его наблюдательных данных простые геометрические и математические факты. Он не знал, почему планеты движутся по найденным им законам, — по современным меркам его теории о том, почему так происходит, были в лучшем случае странными, — но найденные им закономерности оказались верны.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
