Для случая многих степеней свободы вывод, по сути, остается таким же. Уравнение Эйлера—Лагран¬жа записывается для каждой координаты xt:
d dL dt дХі дхі
Эта производная показывает, что в способности частицы чувствовать весь путь, прежде чем начать по нему двигаться, нет никакой магии. В каждом месте траектории частица минимизирует только действие между данным и следующим моментами времени. Принцип наименьшего действия просто становится в каждый момент дифференциальным уравнением, которое определяет самое ближайшее будущее.
Много частиц и измерений
Итак, пусть у нас имеется N координат, которые мы обозначим X/. Движение системы описывается траекто-рией, или орбитой в Лг-мерном пространстве. Для еще более точного описания добавим время и будем считать орбиту траекторией, лежащей в N + 1 измерениях. На-чальная точка траектории пусть будет Xj(£0), конечная точка — Xi(t 1). Орбита, лежащая в (N + 1)-мерном про-странстве, описывается заданием координат как функ-ций времени Xi(t). Принцип наименьшего действия для многих степеней свободы, в сущности, не отличается от случая для одной степени свободы. Лагранжиан ра¬вен разности кинетической и потенциальной энергий:
t,
A = ^L({x},{x))dt, (5)
to
а принцип наименьшего (стационарного) действия состоит в том, что траектория минимизирует это действие.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
