Теоретический минимум

У Ленни действие вдоль траектории равно

Но можно также записать действие и в координатах Джорджа. Все, что нужно для этого сделать, — это выразить х через X:
x = X + f.
Подставим это выражение в формулу (7) и получим
А = jf|m(x + /)2-F(X)jdt
*0
Потенциальная энергия V(X) означает просто ту же самую потенциальную энергию, которую использовал бы Ленни, зная положение объекта, но выраженную в координатах Джорджа, — та же точка, только с другой меткой. И вот мы уже знаем лагранжиан в системе отсчета X:
L = ±m(x + ff-v(x),
2
где можно раскрыть квадрат суммы
L=-m[x2+2Xf + f2)-V(X).
2
Что делать Джорджу с формулой (8)? Записать урав-нение Эйлера—Лагранжа. Вот что он в результате получит:
V- ‘J 3F тХ + mf = ,
или, в чуть иной форме:
y- dv ■■
тХ = тт.
дХ
В этом результате нет ничего удивительного. Джордж наблюдает дополнительную «фиктивную» силу, дей-ствующую на объект и равную —mf . Что здесь ин-тересно, так это процедура: вместо преобразования уравнений движения мы работали непосредственно с лагранжианом.
Рассмотрим еще один пример. На этот раз Джордж находится на вращающейся карусели. Ленни поль¬зуется координатами х и у. Координаты в системе отсчета Джорджа — X и У, и его координатные оси вращаются вместе с каруселью. Вот связь между двумя системами отсчета:
х-Х cosco t + Y sincoi,
(9)
у = -Xsin соt + Y coscot.
Оба наблюдателя видят частицу, движущуюся в пло-скости. Допустим, Ленни видит, что на нее не действу¬ет никаких сил. Он описывает ее движение, используя принцип наименьшего действия с лагранжианом
L = Hl(x2+y2). (10)
Что нам надо теперь сделать, так это выразить действие во вращающейся системе отсчета Джорджа, а затем использовать уравнения Эйлера—Лагранжа для вывода уравнений движения. Поскольку мы уже знаем эти уравнения в системе отсчета Ленни, все что требуется — это выразить скорость в его системе отсчета через переменные Джорджа. Продифференци¬руем уравнения (9) по времени:
х = Xcoscot-coXsincot + Ysincot + coYcoscot,
у — -X sincot — coX coscot + Y coscot-coY sin со t.
После несложных алгебраических преобразований, использующих равенство sin2 + cos2 = 1, мы получаем для х2 +у2
х2 + у2 = Х2 +Y2 + со2(Х2 +Y2) + 2co[XY-YX). (11)
Остается подставить формулу (11) в выражение для лагранжиана Ленни (10) и получить лагранжиан Джорджа. Это тот же самый лагранжиан, но только выраженный через координаты Джорджа:
L=— [Х2 + Y2) + ^-(X2 + Y2) + mco[XY ~YX). (12) 2 2
Проанализируем члены этого выражения. Первый
член, —(X2+Y2), нам уже знаком — это то, что 2
Джордж должен называть кинетической энергией.
Заметьте, что если угловая скорость равна нулю,
все этим членом и ограничится. Следующий член, ТҐІСО / vр -г*р \
—-—(А + Y*), — это нечто новое, связанное с враще-нием. Для Джорджа это выглядит как потенциальная энергия
V = _rmy*_^x2+Y2),
которая, как нетрудно заметить, создает направленную вовне силу, пропорциональную расстоянию от центра вращения:
F = тсо2г.
Это не что иное, как центробежная сила.
Последний член формулы (12) чуть менее знаком. Его называют силой Кориолиса. Чтобы понять, как все это работает, запишем уравнения Эйлера—Ла¬гранжа:
тХ = тв)2Х — 2/шоУ,
mY = mu>2Y — 2m.(oX.