Интегрирование по частям
Для взятия интегралов часто используются небольшие хитрости. Одна из таких хитростей — заглянуть в та¬блицу интегралов. Другая — научиться пользоваться программой Mathematica. Но если вам надо справить¬ся самостоятельно, то самый старый трюк называется интегрированием по частям. Это просто обратное применение правила для производной произведения. Вспомните из лекции 2, что для дифференцирования функции, которая является произведением двух дру¬гих функций, используется правило
d[f(x)g(x)] dg(x) \df(x)
L 4 7 v ~- = f\x) , + ё{х) } .
dx dx dx
Теперь проинтегрируем обе части этого уравнения
в пределах от а до Ь:
?<*[/(*)*(*)] |;(.T)dg(*> і dx dx
ь
+
а
Левая часть уравнения тривиальна. Интеграл от про-изводной (производной от fg) — это просто сама функ-ция. Так что левая часть будет
f(b)g(b)-f(a)g(a), что обычно записывают в форме
ь
f(x)g(x) .
а
Теперь вычтем один из двух интегралов из правой части, перенеся его в левую часть:
f(x)g(x)
а
Допустим, задан интеграл, который мы не можем взять, но замечаем, что подынтегральное выражение представляет собой произведение функции g(x) и про-изводной другой функции f(x). Иначе говоря, после не-которого анализа мы видим, что интеграл имеет такой вид, как в правой части уравнения (4), но непонятно, как его взять. Однако иногда может посчастливиться и интеграл в левой части этого уравнения окажется уже известным. И тогда все становится замечательно .
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
