Лагранжиан
Все это поднимает вопрос о том, как выразить маг¬нитные силы посредством действия в лагранжевой формулировке механики. Один из источников пута¬ницы заключается в том, что для обозначения дей¬ствия и векторного потенциала служит одна и та же буква А. В дальнейшем мы будем использовать А для действия А или Ai для векторного потенциала. Про¬игнорируем или приравняем к нулю электрическое поле и сконцентрируемся на магнитном, или силе Лоренца. Начнем с действия для свободной частицы, на которую не влияют никакие силы:
Здесь і относится к направлениям в пространстве, а знак суммирования по х, у, г подразумевается, но для краткости опущен. Привыкайте к этому.
Что можно добавить к действию или к лагранжи¬ану, чтобы появилась сила Лоренца? Ответ не так очевиден. Тем не менее мы знаем, что каким бы ни был дополнительный ингредиент, он будет пропор¬ционален электрическому заряду и должен в той или иной форме включать магнитное поле.
Попытки просто поэкспериментировать быстро разочаровывают. Нет ничего такого, что напрямую включало бы В и давало силу Лоренца. Ключ к про¬блеме — векторный потенциал. Простейшая вещь, ко¬торую можно сделать с векторным потенциалом, — это скалярно перемножить его с вектором скорости. На¬помню, что лагранжиан включает только положения и скорости. Можно также попробовать скалярное про¬изведение вектора положения с А , но это ни к чему хорошему не приведет. Так что давайте попробуем добавить в лагранжиан член
■ A(x) = ^Yj\_xiAi(x)]. (13)
Основанием для включения скорости света служит то, что она появляется вместе с зарядом в выражении для силы Лоренца. Итак, мы пробуем действие
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
