Основная теорема анализа — один из самых про¬стых и красивых результатов в математике. Она обна-руживает глубокую связь между интегралами и про-
изводными, утверждая, что если
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим приращение интеграла при изменении Т от Т до Т + At. Это будет новый интеграл
T+At
F(T + At)= J f(t)dt.
a
Иначе говоря, мы добавили еще один прямоугольник шириной At в точке t = Т к площади, показанной на рис. 3. В действительности разность F{T + Д£) — F(T) — это как раз площадь дополнительного прямоугольни¬ка, которая равна f(T)At. Другими словами,
F{T + At)-F(T) = f(T)At. 73
Поделив на At
F(T+M)-F(T)
получаем основную теорему, связывающую F и /, когда переходим к пределу At —» 0:
§=ЙІ?МТ+Д()-?(Г)Н(Г)-
Можно упростить запись, игнорируя различие между t и Т:
f-‘M-
Другими словами, процедуры интегрирования и диф-ференцирования взаимно противоположны: произво¬дная от интеграла равна подынтегральной функции.
Можно ли точно определить функцию F(t), зная ее производную f(t)? Почти, но не совсем. Проблема в том, что добавление константы к F(t) не меняет значение производной. Для данной функции f(t) не¬определенный интеграл неоднозначен, он определен лишь с точностью до постоянной интегрирования.
Чтобы понять, как используется основная теорема, возьмем несколько неопределенных интегралов. Най¬дем, например, интеграл степенной функции f(t) = tn. Начнем с того, что
F(T) = jf(t)dt.
Отсюда следует, что или
dt
Все, что нам нужно сделать, — это найти такую функ-цию F, производная которой равна tn, и это совсем нетрудно.
В прошлой главе мы выяснили, что для любого т
d(tm)
dt
Если сделать подстановку т = п + 1, то получится
М = (» +1)<» dt у ’
или, если поделить на п + 1,
d[tn+1/n +1) dt
tn+1
Итак, мы нашли, что tn — это производная от
д + 1
Подставляя соответствующие значения в исходное вы¬
ражение, получаем
г tn+*
,(Г) = /«* = —.
Единственная недостающая вещь здесь — неопределен-ная константа, которую можно добавить к F. Поэтому результат следует записать так:
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
