Следующая теорема доказывается буквально за несколько секунд. Для любого векторного поля А(х) ротор А не имеет дивергенции:
V х А] = 0.
У этой теоремы есть на самом деле и более сильная формулировка, доказать которую труднее. Поле имеет нулевую дивергенцию тогда и только тогда, когда оно является ротором другого поля.
А вот еще одна теорема, которая легко доказыва¬ется. Пусть векторное поле определено как градиент скалярного поля:
£(x) = VF(;e), где V — скалярное поле. Отсюда следует, что ротор Е равен нулю:
Vx[vF(x)] = 0. (4)
— УПРАЖНЕНИЕ 2®
V-
Докажите формулу (4).
Магнитные поля
Магнитные поля (обозначаемые В(х)) — это вектор¬ные поля. Но не любое векторное поле может служить представлением магнитного. Все магнитные поля имеют одну характерную особенность: их дивергенция равна нулю. Отсюда следует, что любое магнитное поле можно представить как ротор некоторого вспо¬могательного поля:
В — VxA, (5)
где А называется векторным потенциалом. В по-компонентной записи:
дАг дАу
ду dz
дАх дАг
dz дх
дАу дАх
дх ду
Векторный потенциал — это довольно странное поле. В известном смысле оно не обладает той же реально¬стью, как магнитное и электрическое поля. Оно просто по определению таково, что его ротор — это магнитное поле. Магнитное и электрическое поля — это нечто такое, что можно измерить локально. Другими слова¬ми, если надо узнать, присутствует ли электрическое/ магнитное поле в небольшой области пространства, то это можно выяснить, проведя эксперимент в этой же области. Эксперимент обычно состоит в проверке, имеются ли в данной области силы, действующие на заряженные частицы. Однако векторный потенциал невозможно определить локально. Прежде всего он не определяется единственно возможным образом по маг¬нитному полю, которое описывает. Допустим, В зада¬но векторным потенциалом, как выражено в уравнении (5). Можно добавить к А некий градиент и получить новый векторный потенциал, не вызвав изменения В. Причина этого в том, что ротор градиента всегда равен
нулю. Таким образом, если два векторных потенциала связаны соотношением
А’ = A + Vs,
где s — некое скалярное поле, то они порождают оди-наковые магнитные поля и их невозможно различить в эксперименте.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
