Назад к примерам
Применим уравнение (18) к рассмотренным ранее примерам. В первом примере (1) вариация координат в уравнении (6) задается функциями fi и /2, строго равными 1. Подставляя f\ = f2 = 1 в уравнение (18), получаем в точности то, что нашли раньше: (рг + р2) сохраняется. Но теперь можно сделать гораздо более общее утверждение: для любой системы частиц, если лагранжиан инвариантен относительно синхронного сдвига положений всех частиц, импульс сохраняется. Это утверждение справедливо и для каждой отдель¬ной пространственной компоненты импульса. Если L инвариантен относительно сдвигов вдоль оси х, тогда суммарная величина х-компоненты импульса сохраняется. Отсюда мы видим, что третий закон Ньютона — действие равно противодействию — это следствие одного фундаментального свойства простран-ства: ничто в законах физики не изменится, если все синхронно сдвинуть в пространстве.
Теперь обратимся ко второму примеру, в котором вариации из уравнения (7) имеют значения /х = Ь, f2 = -а. Вновь подставляем их в уравнение (18) и на¬ходим, что сохраняющаяся величина — bpi + ар2.
Последний пример — вращение — интереснее. В нем появляется новый закон сохранения, с кото¬рым мы еще не встречались. Из уравнения (12) мы получаем: fx — у, fy = -х. На этот раз сохраняющаяся величина включает как координаты, так и импульсы. Она называется угловым моментом и обозначается I. Из уравнения (18) мы получаем
1 = урх + хру.
И вновь, как и в случае сдвига, мы сталкиваемся с более глубоким фактом, чем просто сохранение угло¬вого момента отдельной частицы: для любой системы частиц, если лагранжиан инвариантен относительно одновременного поворота положений всех частиц во-круг начала отсчета, угловой момент сохраняется.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
