Движение в однородном магнитном поле
Задачу о движении в однородном магнитном поле до-статочно легко решить, и она иллюстрирует многие принципы, которые мы обсуждали. Возьмем поле, направленное вдоль оси z и имеющее величину Ь. Эта ситуация описывается уравнениями (6-8). Выбор между векторными потенциалами (7, 8) — это при¬мер неоднозначности, связанной с калибровочными преобразованиями. Давайте для начала выберем урав-нения (7) и запишем гамильтониан (24), используя (Ах = 0, Ау = Ъх, Аг = 0). Получится
/ \2
Как всегда, первым делом надо разобраться с законами сохранения. Один мы уже знаем: сохранение энергии.
Как мы видели, энергия — это старая добрая кинети-ческая энергия —mv2 . Отсюда следует, что абсолютная 2
величина скорости остается постоянной.
Далее заметим, что единственная координата, ко-торая фигурирует в Я, — это х. Это значит, что при выводе уравнений Гамильтона мы обнаружим, что рх не сохраняется, но р2 и ру — сохраняются. Что из этого следует? Рассмотрим прежде всего 2-компоненту. Раз Аг — 0, то pz = mvz. А значит, из сохранения р2 при¬вычным образом следует, что г-компонента скорости равна константе.
Теперь обратимся к сохранению ри. На этот раз
е
Ру равно не mVy, a mvy + —bx . Сохранение ру говорит
с
нам, что
g
таи + —bvx = О, с
или
ау= vx. (25)
тс
Заметьте, что из сохранения ру вовсе не следует, что сохраняется {/-компонента скорости.
А что с рх1 Кажется, тут сохранения быть не долж¬но, поскольку Я явным образом зависит от х. Можно использовать уравнения Гамильтона для определе¬ния х-компоненты ускорения, но я хочу применить другой подход. Вместо уравнений (8) я собираюсь на ходу изменить калибровку и использовать уравнения (7). Вспомните, что физические явления не долж¬ны меняться. Новый гамильтониан, получающийся с уравнениями (7):
Теперь гамильтониан не зависит от х, что подразуме¬вает сохранение рх. Как такое может быть? Ранее мы показали, что рх не сохраняется, когда используются уравнения (8). Разгадка состоит в том, что при вы-полнении калибровочного преобразования компоненты р изменяются. В двух обсуждаемых случаях рх имеет разный смысл.
Рассмотрим следствия сохранения рх при но¬вой калибровке. Используя уравнения (7), получаем е
рх = mvx —by . Таким образом, сохранение рх вы-
с
ражается как
(26)
Вы уже наверняка заметили сходство уравнений (25) и (26). Это уравнения Ньютона—Лоренца для движе¬ния в однородном магнитном поле.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
