Лекция 6. Принцип наименьшего действия
Ленни был расстроен — не лучший поворот дела, учитывая его внушительную комплек¬цию, — вдобавок у него разболелась голова. «Джордж, мне не упомнить все это хозяйство! Силы, массы, уравнения Ньютона, импульс, энергия… Ты сказал, что необязательно все это заучивать, чтобы заниматься физикой. Нельзя ли обойтись одной самой важной вещью, кото¬рую надо запомнить?»
«О’кей, Ленни. Расслабься. Я сейчас все упро¬щу. Все, что надо запомнить, — это то, что действие всегда стационарно».
Переход к теоретической механике
Принцип наименьшего действия (а на самом деле принцип стационарности действия) — это самая компактная форма выражения законов классической физики. Это простое правило, которое записывается одной строкой и охватывает сразу все: не только принципы классической механики, но и электромаг-нетизм, общую теорию относительности, квантовую механику, химию — все, вплоть до самых фундамен-тальных составляющих материи — элементарных частиц.
Мы начнем с того, что сделаем одно общее заме¬чание об основной задаче классической механики, а именно о задаче определения траекторий (или орбит) систем по их уравнениям движения. Обычно при постановке этой задачи указываются три вещи: массы частиц, совокупность сил F({x}) (а еще лучше формула для потенциальной энергии) и начальные условия. Система стартует с определенными значе¬ниями координат и скоростей, а затем движется под влиянием заданных сил в соответствии со вторым за¬коном Ньютона. Если в целом имеется N координат (xi, Х2, …, Хдг), то начальные условия состоят в за¬дании 2N положений и скоростей. Например, можно
задать положения {х} и скорости {д:] в начальный момент to, а затем решить уравнения, чтобы найти, какими они станут в момент t\. По ходу дела мы обычно полностью определяем траекторию между to и t\ (рис. 1).
Рис. 1. Траектория от момента to до момента ti
Но эту задачу классической механики можно сфор-мулировать и другим способом, также требующим задания 2N элементов информации. Вместо задания начальных положений и скоростей можно указать начальные и конечные положения. Это можно пред-ставить следующим образом. Допустим, бейсболист готовится подать мяч (из точки хо в момент to) и хо¬чет, чтобы тот попал на вторую базу (xi) ровно через 1,5 секунды (£i). Как должен двигаться мяч между базами? Часть задачи в этом случае состоит в том, чтобы определить начальную скорость мяча. При такой постановке задачи скорость не входит в состав начальных данных, а является частью решения.
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
