Мы не первый раз сталкиваемся с неоднозначно¬стью, возникающей, когда одна вещь определяется производной от другой. Вспомните, что сила в систе¬ме — это градиент потенциальной энергии, взятый с обратным знаком:
F(x) = -VU(x).
Потенциальная энергия не определена однозначно: к ней всегда можно добавить константу, не приводя к изменениям силы. Это значит, что никогда нельзя непосредственно измерить потенциал — только его производную. Сходная ситуация имеет место с век¬торным потенциалом; на самом деле именно поэтому он и назван потенциалом.
Рассмотрим пример магнитного поля и связанного с ним векторного потенциала. Простейший случай — это однородное магнитное поле, направленное, допу¬стим, вдоль оси г:
Вх = О,
Ву= 0, (7)
Вг=Ь,
где Ъ — число, выражающее напряженность поля. Теперь зададим векторный потенциал:
Ах= о,
Ау = Ьх, (8)
Аг = 0.
При вычислении ротора А останется только один не-
дАу , ™
нулевой член, а именно —— = о. Так что единственная
дх
компонента магнитного поля — это 2-компонента, и ее значение равно Ь.
В формулах (8) есть кое-что забавное. Однородное магнитное поле выглядит совершенно симметричным относительно вращения в плоскости х, у. Однако век¬торный потенциал имеет только «/-компоненту. Можно, однако, использовать другой векторный потенциал, А’, имеющий лишь х-компоненту, но порождающий то же самое магнитное поле:
А’х = ~Ьу,
А’у= 0, (9)
А’г= 0.
— УПРАЖНЕНИЕ з|
Покажите, что векторные потенциалы, задан¬ные формулами (8) и (9), дают одно и то же однородное магнитное поле. Это означает, что разность между ними является градиентом. Найдите скалярное поле, градиент которого при добавлении к формулам (8) дает (9).
Операция перехода от одного векторного потенциала к другому, описывающему то же самое магнитное поле, называется калибровочным преобразованием. Почему «калибровочным»? Это историческое недоразумение. В какой-то момент ошибочно считалось, что оно от¬ражает неопределенность калибровки длин в разных точках пространства. Зачем вообще заморачиваться с этим векторным потенциалом, если он неоднозначен, а магнитное поле четко определено? Ответ состоит в том, что без него невозможно выразить принцип стационарности действия, то есть дать лагранжеву, гамильтонову и пуассонову формулировки механики для частиц в магнитных полях. Это странная ситуа¬ция: физические явления калибровочно-инвариантны, но формализм требует выбрать калибровку (то есть конкретный вид векторного потенциала).
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
