Производная уравнений Гамильтона
Давайте завершим дело, которое мы оставили неза-конченным: дадим общий вывод уравнений Гамиль¬
тона. Лагранжиан — это некая общего вида функция координат и скоростей:
L = L({q},{t?}),
а гамильтониан —
<)-£•
Изменение гамильтониана равно
ш = £(РМ + QfiPi )SL =
лг-^f s. . 2 dL dL
= У РМІ + ФРі -—’5g« -—’5g;
і І % у
Теперь, если обратиться к определению pt, а именно Pl = , мы видим, что первый и последний члены
oq,
в точности компенсируют друг друга, и остается
■Я
fcSPi—r-S Qi
dql
Сравним это выражение с общим правилом для малых изменений функции нескольких переменных:
ґдН„ дН л
5Я({д},{р}) = Х
5pi+—8qi і V °Рі д(1і
Сгруппировав члены, пропорциональные бqt и бр,, получаем
дн .
dpi
(18)
дН _ dL dqt dqt’
Остается один последний шаг, а именно — записать уравнения Лагранжа в форме
8L . dqt
Подставляя это выражение во второе уравнение (18), получаем уравнения Гамильтона:
Страниц: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
